教材分析 · 学习规划
第一章 勾股定理
这一章要解决的问题是：知道直角三角形任意两条边的长度，能不能算出第三条边？ 课本用“拉钢索”“测汽车速度”“装货物进门”等真实情境引入，再从测量和数格子中发现三边之间一种确定的数量关系。
全书学习地图：七章主线
- 一 · 勾股定理从“数”和“形”两个方面研究直角三角形三边关系，是本章核心。
- 二 · 实数数系由有理数扩充到实数，为后续开平方、无理数等提供工具。
- 三 · 位置与坐标用有序数对描述位置，把平面上的点与数对应起来。
- 四 · 一次函数用“数”与“形”研究变量之间的最简单函数关系。
- 五 · 二元一次方程组认识方程组，感受一次函数与二元一次方程之间的联系。
- 六 · 数据的分析用平均数、方差等刻画数据集中趋势与离散程度。
- 七 · 证明从基本事实出发，用演绎推理证明平行线等有关结论。
核心章节：一、四、五、七
基础章节：二、三
易困难点：二（无理数概念）、四（数形结合）、七（证明表达）
推荐顺序：一 → 二 → 三 → 四 → 五 → 七；第六章可视学习进度安排。
1.1 在本章的位置与任务
前面基础：直角三角形、面积、算术平方根、勾股概念。
本节任务：经历测量、数格子、面积割补等活动，发现并初步验证勾股定理。
后面入口：11.2 将反过来问“三边满足该关系的一定是直角三角形吗”。
容易混淆：把公式中的最长边当成直角边；把“探索发现”当成“证明”。
提出问题
从 8 m 高处拉钢索
课本原问：如图，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，地面固定点距离电线杆底部 6 m。 需要多长的钢索？
钢索、电线杆和地面合起来，正好围成一个直角三角形。两条直角边是 6 m 和 8 m，钢索就是斜边。
你不需要急着算答案。先判断：这根钢索可能比 8 m 短吗？
直观理解
测量、数格子，找规律
课本活动：先在纸上画若干个直角三角形并测量三边；再把直角三角形放在方格纸中，数一数每条边上的正方形分别占多少个 1×1 的小方格。 观察“三条边长度的平方”之间有怎样的关系。
如果直角边是 1.6 和 2.4，方格中会出现半个小方格甚至无法直接数完整格。 这时面积关系不能用“数格子”完成，但可以继续用面积计算：1.6² + 2.4² = 8.32，所以 c ≈ 2.88。
经过观察，你得到的猜想是：
正式定义 · 深入解释
勾、股、弦与勾股定理
我国古代把直角三角形中较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股， 斜边叫作弦。因此“两条直角边的平方和等于斜边的平方”被称为勾股定理。
其中 a、b 是两条直角边，c 是斜边。
定理使用的三个条件
- 对象必须是直角三角形；钝角或锐角三角形不能直接套用。
- c 必须是对应直角的那条斜边，也就是最长边。
- 代入前先统一单位，例如都换算成米或都换算成厘米。
已知直角三角形两条直角边是 5 和 12，斜边是 13。下面哪种书写符合勾股定理？
为什么一定成立
用面积割补说明勾股定理
测量只能说明“我量过的这几个例子成立”。课本图 1-4 到图 1-6 让四个全等直角三角形参与拼图： 同一个大正方形既可以看成 c² + 4 个三角形，也可以看成 a² + b² + 4 个三角形。 两边同时去掉相同的 4 个三角形，就得到 a²+b²=c²。
为什么能由两个拼法推出 a²+b²=c²？
漫话勾股世界（教材阅读材料）
我国是最早了解勾股定理的国家之一。商高提出“勾三、股四、弦五”，记载于《周髀算经》。 汉末三国初的赵爽在给《周髀算经》作注时写道：“勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。” 后人把他的“勾股圆方图”称为赵爽弦图，2002 年国际数学家大会会标的主要图案就取材于此。
相传古希腊毕达哥拉斯学派也证明了这一定理，所以它也被称为毕达哥拉斯定理。 此外还有“青朱出入图”、达·芬奇方法等“无字证明”，它们共同体现面积割补思路。
课本例题
侦察员的汽车速度
王叔叔距离一条东西向公路 400 m。他发现一辆汽车后，第一次测距为 400 m；过 10 s 再测， 距离为 500 m。求汽车这 10 s 的平均速度。
公路是水平的，王叔叔到公路的垂线段长 400 m，因此他与汽车两个位置之间形成直角三角形。 先画图、标出直角，是解决几何应用题的常规第一步。
开始解题前，先做什么最合适？
完成后再核对：例题完整过程
- 由题意画图。王叔叔到公路的垂线段 AC = 400 m，第二次测距 AB = 500 m，∠ACB = 90°。
- 在 Rt△ABC 中，AB 是斜边：AB² = AC² + BC²。
- 代入：500² = 400² + BC²，得 BC² = 250000 − 160000 = 90000，所以 BC = 300 m。
- 平均速度：300 ÷ 10 = 30 m/s。
学生尝试 · 反馈纠错
随堂练习与习题 1.1
随堂练习
1求图中字母代表的正方形面积基础
图 (1) 中，以直角边为边的正方形面积分别是 9 和 16，求以斜边为边的正方形面积 A。
图 (2) 中，以斜边为边的正方形面积是 100，其中一个直角边上的正方形面积是 64，求另一个正方形面积 B。
255 英寸电视机买错了吗应用
小明家买了一台 55 in 电视机。屏幕长 121.5 cm、宽 68.5 cm，小明觉得售货员一定搞错了。1 in = 25.4 mm。
思考：电视机型号中的“英寸”指什么？长和宽是直角边，斜边是多少厘米？
3沿江高速公路建设成本读图
教材随堂练习的图中有多个标注，部分长度以图片形式印刷，文本层无法自动读取。 请打开课本原图，先回答：M、O、Q 三个城市之间要修建的公路由哪些线段组成？哪一段长度需要先用勾股定理求出？
自绘数据可能改变题意，因此这一题不在网页上代算；以教材原图为标准完成。
习题 1.1
4求出未知边的长度基础
教材原图包含多个小直角三角形。本页按同类数据重绘两组，先求第一组：直角边 6、8，未知边是斜边。
第二组：一条直角边 5，斜边 13，未知边是另一条直角边。
5斜边 17、直角边 15，求面积基础
先求出另一条直角边，再用直角三角形面积公式 S = 底 × 高 ÷ 2。
6折断的旗杆原来多高应用
台风使旗杆在离地面 3 m 处折断，顶部落在离底部 4 m 处。折断前旗杆由“直立部分 3 m”和“倒下部分”组成。
7正方形与直角三角形的面积树理解
课本第 8 页第 4 题：图中所有四边形都是正方形、所有三角形都是直角三角形。 请打开教材图，先给最大正方形 M 写面积，再沿每条直角边向下一层分解，找出多种“若干图形面积之和 = 最大正方形面积”的方案。
模型的第一个方案：M = 一条直角边上的正方形 + 另一条直角边上的正方形。沿下一层继续替换，就能得到更多方案。
8等腰三角形的面积综合
等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 17 cm，底边 BC = 16 cm。作底边上的高，它同时把底边平分。
9半圆储藏室能放进箱子吗综合
储藏室入口横截面是半径 1.2 m 的半圆。箱子长 1.2 m、宽 1 m、高 0.8 m，长边沿进门方向放，只看宽和高能否通过。
箱子正放时，从半圆圆心到箱子右上角，水平距离 0.5 m、竖直距离 0.8 m，斜向距离约 √(0.5²+0.8²) ≈ 0.94 m。
10剪四个全等直角三角形拼图拓广
在一张纸上复制四个全等直角三角形并剪下，通过拼图验证勾股定理。 先想一想：你打算把它们拼成边长 a+b 的大正方形，还是把两个小正方形直接拆开补到斜边正方形里？
拼图提示
可以先把四个三角形和一个边长为 c 的正方形拼成外正方形；再试着把四个三角形和一个边长为 a、b 的两个正方形拼成同样大小的外正方形。
变式练习 · 防错
三个最容易翻车的地方
A谁才是斜边易错 1
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 12。要求 BC，应写哪一个式子？
B不是直角三角形也能套吗易错 2
已知三角形三边为 3、4、6。有同学写 3² + 4² = 6²，结果得到 25 = 36，于是认为勾股定理“不成立”。
C小数与根式照样用变式
直角三角形两条直角边分别是 1.6 和 2.4，求斜边长度，保留两位小数。
每节结束输出
核心知识、薄弱点与掌握程度
本节核心知识
- 勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方。
- 勾 = 较短直角边，股 = 较长直角边，弦 = 斜边。
- 面积割补是把“发现”变成“道理”的重要方法。
必须掌握的公式与定理
常见错误
- 找错斜边，把最长边当成直角边。
- 把“两直角边平方和”记成“两直角边直接相加再平方”。
- 已知斜边和一条直角边时仍用加法，而不是减法。
- 非直角三角形也套用公式；单位不统一直接代入。
当前掌握程度
尚未记录
本次薄弱点记录
完成记录后显示在这里。