教材分析 · 本节定位
1.2 一定是直角三角形吗
1.1 中我们从“直角三角形”出发，得到了 a²+b²=c²。本节把条件和结论倒过来问： 只知道三边长满足 a²+b²=c²，能断定它是直角三角形吗？
本节页次：教材印刷第 10–12 页；内容是勾股定理的逆定理与勾股数。
为什么需要学这一节
- 工程师要检查零件角是否真的是直角，却没法每次都用三角板量。
- 只要能量出三角形三边，就能用“三边数量关系”判断一个角是否为直角。
- 本节还为 1.3 的实际测量、施工放线提供工具。
和 1.1 的“双向关系”
1.1 方向已知是直角三角形 → 推出 a²+b²=c²
1.2 方向已知 a²+b²=c² → 推出是直角三角形
共同注意式子中的 c 必须对应最长边，也就是斜边。
提出问题
把勾股定理“倒过来”问
原命题：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
反问题：如果一个三角形中有两条边长度的平方和等于第三边长度的平方，那么它是直角三角形吗？
例如给出 3、4、5，它们满足 3²+4²=5²。如果只凭这三条线段去画三角形， 你会得到哪个角是直角？是“所有满足的数都会得到直角”，还是只是 3、4、5 碰巧可以？
你的初步猜想：
直观理解 · 操作验证
画一画：五组数都能围出直角三角形吗
课本给的五组数分别是：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41。 每一组都满足 a²+b²=c²。下面按三边位置重绘三角形：把 a、b 放在互相垂直的方格边上时， c 正好是斜边。你可以切换数据观察它们的共同结构。
选择一组三边
3² + 4² = 5²，最长边 5 所对的角是直角。
观察这五组数据，你发现的共同点是：
正式定义 · 使用条件
勾股定理的逆定理与勾股数
如果三角形三条边的长度 a、b、c 满足 a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，c 所对的角是直角。
满足 a²+b²=c² 的三个正整数，称为勾股数。例如 3、4、5 是勾股数；把 3、4、5 同时乘 2 得到 6、8、10，也仍然是勾股数。
已知三角形三边为 8、15、17。判断它是否为直角三角形时，第一步应做什么？
课本例题
零件上的角是否合格
一个零件按规定 ∠A 和 ∠DBC 都应为直角。工人量得 AB=3 cm，AD=4 cm，BD=5 cm， BC=12 cm，CD=13 cm。这个零件符合要求吗？
这个图形可以拆成两个三角形：△ABD 和 △BCD。BD 同时是 △ABD 的斜边和 △BCD 的一条直角边。
判断 ∠A 是否直角，应检验哪个三角形？
两个条件都满足，最后结论是：
完成后再核对：例题完整过程
- 在 △ABD 中，AB²+AD²=3²+4²=25=BD²，所以 △ABD 是直角三角形，∠A=90°。
- 在 △BCD 中，BD²+BC²=5²+12²=169=CD²，所以 △BCD 是直角三角形，∠DBC=90°。
- 零件上规定的两个角都是直角，因此零件符合要求。
学生尝试 · 反馈纠错
随堂练习：能作为直角三角形的边吗
每组数能否分别作为直角三角形三条边的长度？先说理由，再逐组核对。
2正方形 ABCD 中的直角三角形（教材读图题）图形题
课本原题：在正方形 ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1。图中线段的位置依赖教材原图， 文本层无法完整还原每个点的位置，因此这一题请对照课本原图完成。
方法提示：把所有能组成三角形的三点组合列出来；先写每条边的长度或长度平方，再用逆定理逐组判断。
习题 1.2
知识技能、数学理解与问题解决
1由 a² = c² − b² 能判断吗基础
三条线段长度 a、b、c 满足 a²=c²−b²，那么它们组成的三角形是直角三角形吗？
2三边同时扩大相同倍数理解
把直角三角形三条边同时乘 k（k>0），得到的还是直角三角形吗？
3方格纸中的三角形图形题
课本原图为方格纸图形题。本页用同一方法重绘三组顶点都在格点上的三角形，先判断后对照原图。
4古巴比伦泥板上的数探索
美国哥伦比亚大学收藏的古巴比伦泥板有 4 列 15 行数字。表中每一行的第一、第二、第三列之间都满足同一种关系，借助计算器探索。
| 第一列 | 第二列 | 第三列 |
|---|---|---|
| 120 | 119 | 169 |
| 3456 | 3367 | 4825 |
| 4800 | 4601 | 6649 |
| 13500 | 12709 | 18541 |
| 72 | 65 | 97 |
| 360 | 319 | 481 |
| 2700 | 2291 | 3541 |
| 960 | 799 | 1249 |
| 600 | 481 | 769 |
| 6480 | 4961 | 8161 |
| 60 | 45 | 75 |
| 2400 | 1679 | 2929 |
| 240 | 161 | 289 |
| 2700 | 1771 | 3229 |
| 90 | 56 | 106 |
5只用一根长绳子得到直角动手
如果只给一根长绳子，怎样利用它得到一个直角？
把绳子打结或标记成 12 个相等小段，再把整圈绳拉成三条边分别为 3 段、4 段、5 段的三角形， 最长边 5 段所对的角就是直角。
变式练习 · 防错
逆定理最容易错的三个地方
A小数不是“勾股数”，但仍是直角三角形概念
三角形三边为 1.5、2、2.5。有同学说“勾股数必须是正整数，所以它不是直角三角形”。
B“最长边”没有找对运算
判断 2、3、√13 是否构成直角三角形。下面哪一种过程正确？
C只满足式子还不够，还要真的构成三角形条件
三条线段长度分别满足 a²+b²=c²，其中 a=1、b=1、c=√2，一定能构成三角形；但如果 a=1、b=1、c=5，还满足 c²=a²+b² 吗？
每节结束输出
核心知识、薄弱点与掌握程度
本节核心知识
- 勾股定理的逆定理：a²+b²=c² 可用来判断直角三角形。
- 使用顺序：先找最长边作 c，再验证平方和。
- 勾股数是满足关系的三个正整数，例如 3、4、5。
必须掌握的公式与定理
常见错误
- 不先找最长边，任意挑一个数当 c。
- 把逆定理与正定理混淆：正定理先有直角三角形，逆定理先有三边关系。
- 认为只有整数三边才能满足平方关系，忽略了小数和根式。
- 判断后不写“哪个角是直角”，缺少结论。
当前掌握程度
尚未记录
本次薄弱点记录
完成记录后显示在这里。