教材分析 · 本节定位
1.3 勾股定理的应用
前两节分别解决了“知道直角求边长”和“知道三边判直角”。本节把这两个方向放进真实情境： 测量装修砖、折纸、古算题、木棒拼图、云梯和隧道，核心仍然是先找出直角三角形。
本节页次：教材印刷第 13–15 页。
本节要练成的通用步骤
- 读题并画图，把真实物体抽象成三角形或组合图形。
- 找出直角，确定哪条边是斜边、哪些边是直角边。
- 判断该用勾股定理求边，还是用逆定理判断直角。
- 代数量、写单位，最后回到题目情境检查答案是否合理。
课本引入
只带卷尺，怎样检验直角
装修工人李叔叔想检测一块砖的边 AD、BC 是否分别垂直于边 AB。如果只带卷尺， 你能替他想出办法吗？
关键不是直接量角，而是测量三角形 ABD 的三条边。若三边满足平方关系， 就能由逆定理判断 ∠A 是直角。同理再检验另一侧。
只带卷尺时，哪种方案最可靠？
2500 与 BD²=50² 相等，说明：
第 (3) 问：只带 20 cm 刻度尺怎么办
先想清楚：要判断 AD 是否垂直于 AB，至少需要得到哪几条长度？如果尺子一次量不到 30、40、50 cm，能否通过分段标记累加来测量？把你的方案写下来，再对照课本交流。
尝试 · 思考
正方形纸片翻折：求 DF 的长
正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点。把点 C 翻折到点 E， 折痕交 AB 于点 G、交 CD 于点 F，求 DF 的长。
折痕上的点到对应点 C 和 E 的距离相等，因此 F 在折痕上时，FC=FE。
完成后再核对：折纸题的方程
- 设 DF=x，则 FC=CD−DF=8−x。
- E 是 AD 中点，ED=4，所以 Rt△EDF 中 FE²=x²+4²。
- 点 F 在折痕上，FC=FE，因此 (8−x)²=x²+16。
- 展开得 64−16x+x²=x²+16，所以 x=3，即 DF=3 cm。
古算题 · 建模
《九章算术》里的水池芦苇
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问：水深、葭长各几何？
题意为：正方形水池边长 1 丈（10 尺），芦苇长在水池正中央，高出水面 1 尺。 把芦苇垂直拉向岸边时，顶端恰好到达岸边水面。
完成后再核对：芦苇题的方程
- 设水深 OA=x 尺，则芦苇长 OB=x+1 尺。
- 水池边长 10 尺，正中央到岸边 AC=5 尺，且 AC⊥OA。
- Rt△OAC 中：5²+x²=(x+1)²。
- 25+x²=x²+2x+1，解得 x=12；芦苇长为 13 尺。
随堂练习
五根小木棒怎样摆成两个直角三角形
五根小木棒的长度分别是 7 cm、15 cm、20 cm、24 cm、25 cm，要把它们摆成两个直角三角形。 先不要看选项，想一想：这些数可以分成哪两组勾股数？
最合理的分组是：
两组都能满足平方和关系，且共用 25 cm 这根木棒。对照课本三幅图， 应选同时正确使用这两组关系的图形，即课本图（2）的结构。
如果图形把 7 和 15 放在同一条斜边两侧，问题出在哪里？
习题 1.3
阴影图形、云梯和隧道
1求阴影长方形的面积图形题
课本图（单位：cm）中阴影部分是一个长方形，它的面积是多少？图中只给出了直角三角形的两条直角边 15 和 8。
这道题的完整图形标注需要对照课本原图阅读。先在课本图上标出：哪条边是直角三角形的斜边， 长方形的长和宽分别对应图中的哪条线段；再用勾股定理求出缺少的长度。
读图提示
先求直角三角形的斜边：15²+8²=225+64=289=17²，所以斜边长17 cm。接着观察长方形与这条斜边的关系，按课本图读出另一条边的长度后再求面积。
2云梯能否到达城墙顶端应用
城墙高 11.7 m，云梯底端离城墙根 9 m，梯长 15 m。先求云梯能达到的最大高度。
12 m 与城墙 11.7 m 比较，结论是：
3卡车能否通过隧道综合
隧道横截面由半圆和长方形组成，长方形长 4 m、宽 2.6 m，半圆半径 2 m。卡车高 3.6 m、宽 2.4 m。
只看半圆部分：卡车中心到一侧的距离是 2.4÷2=1.2 m，计算半圆在该处的竖直高度。
卡车超出长方形顶部的高度是 3.6−2.6=1.0 m；半圆提供 1.6 m，结论是：
4利用升旗绳测旗杆高度设计
借助勾股定理，利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算旗杆的高度。
设计时要想清楚的三件事
- 怎样得到一个直角三角形？竖直的旗杆和水平地面给出直角。
- 哪条边是斜边？拉开后的绳子通常就是斜边。
- 哪些量可以直接量，哪些量需要通过计算得到？
建模与检查
应用题最容易错的三个环节
A先确定哪条边是斜边建模
云梯题中，15 m 的云梯、9 m 的水平距离和城墙高度 h 组成直角三角形。哪条边是斜边？
B先统一单位再计算单位
《九章算术》中水池边长 1 丈，芦苇高出水面 1 尺。已知 1 丈=10 尺，那么水池中心到岸边的距离是多少尺？
C结果要回到情境检查反思
算得云梯能达到 12 m，但城墙只有 11.7 m。写结论时应该怎样表达？
每节结束输出
核心知识、薄弱点与掌握程度
本节核心知识
- 实际问题的第一步是画图并找出直角三角形。
- 求边时用勾股定理，判断直角时用逆定理。
- 折叠问题抓住对应点到折痕距离相等。
- 古代测量问题的关键是设未知数并列方程。
必须掌握的公式与定理
常见错误
- 没有画图，直接把题目中的长度当成直角边。
- 单位不统一就代入，例如“丈”和“尺”混用。
- 折叠题不知道折痕是对应点连线的垂直平分线。
- 算出数值后不回到情境回答问题。
当前掌握程度
尚未记录
本次薄弱点记录
完成记录后显示在这里。